표준편차 계산기로 알 수 있는 값

중심을 기준으로 좌우에 퍼져 있는 여러 데이터 점

숫자 목록을 넣으면 산술평균, 분산, 표준편차를 함께 계산합니다. 입력값이 조사 대상 전체인지, 더 큰 집단에서 뽑은 표본인지에 따라 모집단과 표본 중 하나를 선택할 수 있습니다.

입력 형식과 두 계산 모드

모집단 모드는 평균에서 떨어진 정도를 제곱해 모두 더한 뒤 전체 개수 N으로 나눕니다.

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}}

표본 모드는 분모를 $n-1$ 로 바꿉니다. 이 보정은 표본 분산을 모집단 분산의 불편추정량으로 만들지만, 표본 표준편차 s 자체가 엄밀히 불편하다는 뜻은 아닙니다.

s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

숫자를 구분하는 방법: 공백, 줄바꿈, 세미콜론, 세로줄을 쓸 수 있습니다. 쉼표 뒤에 공백이 오면 쉼표도 구분자로 처리됩니다.
허용되는 숫자: 소수점이나 소수 쉼표, 과학적 표기법, 유니코드 빼기 기호를 인식합니다. 자릿수 묶음용 천 단위 구분자는 사용하지 마세요.
반올림: 표시할 소수 자릿수를 0에서 10까지 정합니다. 화면 표기만 바뀌며 내부 계산과 복사되는 값은 사용 가능한 전체 수치 정밀도를 유지합니다.

값은 2개 이상이어야 하며 최대 10,000개, 입력 길이는 최대 200,000자입니다. 모든 항목은 JavaScript가 유한한 수로 나타낼 수 있는 범위 안에 있어야 합니다.

계산 과정을 확인하는 예시

모집단 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: 평균은 5이고 편차 제곱합은 32입니다. 8개 전체를 조사했으므로 분산은 $\frac{32}{8}=4$ , 표준편차는 $\sigma=\sqrt{4}=2$ 입니다. 따라서 이 자료의 퍼짐 규모는 2단위입니다.
같은 목록을 표본으로 계산: 평균 5와 편차 제곱합 32는 그대로지만 분모가 $8-1=7$ 입니다. 표본 분산은 $\frac{32}{7}\approx 4.571428571$ , 표본 표준편차는 $s\approx 2.138089935$ 입니다. 분모가 작아져 모집단 결과보다 조금 커집니다.
모집단 99, 100, 101: 평균은 100이며 편차 제곱은 1, 0, 1입니다. 분산은 $\frac{2}{3}$ , 표준편차는 $\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 0.816496581$ 입니다. 세 값이 100 가까이에 모여 있다는 결론을 낼 수 있습니다.

7, 7, 7처럼 모든 수가 같다면 각 편차가 0이므로 분산과 표준편차도 정확히 0입니다.

결과를 해석할 때 확인할 점

표준편차는 음수가 아니며 원자료와 같은 단위를 씁니다. 분산의 단위는 원래 단위의 제곱입니다.
작다거나 크다고 판단하는 보편적인 기준은 없습니다. 측정 단위, 예상 범위, 분석 목적과 함께 봐야 합니다.
모든 값에 같은 상수를 더하면 평균만 이동하고 표준편차는 유지됩니다.
모든 값을 c배 하면 표준편차는 $\lvert c\rvert$ 배 됩니다. 제곱한 편차를 쓰므로 이상치는 결과를 크게 키울 수 있습니다.

표준편차를 계산하는 데 정규분포 가정은 필요하지 않습니다. 확률이나 백분위처럼 추가 해석을 할 때는 별도의 분포 가정이 필요할 수 있습니다. 또 표준편차는 데이터가 평균에서 떨어진 거리의 단순한 산술평균이 아닙니다. 분산의 제곱근이며, 모집단에서는 편차 제곱합을 N으로, 표본에서는 n에서 1을 뺀 값으로 나눕니다.

계산기는 중심 이동과 크기 조정을 이용해 큰 수끼리 뺄 때 생기는 정밀도 손실과 중간 단계의 오버플로를 줄입니다. 그래도 기계가 표현할 수 있는 유한 범위를 벗어나거나 0으로 소실되는 결과는 오류로 처리합니다.

표준편차 계산에 관한 질문

목록이 조사 대상 전체인지 일부인지 먼저 정해야 분모와 결과의 의미를 올바르게 선택할 수 있습니다.

모집단 모드는 언제 선택하나요?

분석하려는 대상의 모든 값이 목록에 들어 있다면 모집단 모드를 선택합니다. 이때 편차 제곱합을 N으로 나눕니다.

표본 모드는 왜 n에서 1을 빼나요?

같은 표본에서 구한 평균을 사용하면서 생기는 분산의 과소 추정을 보정하기 위해 n 빼기 1을 사용합니다.

표준편차 0은 무엇을 뜻하나요?

목록의 모든 값이 같다는 뜻입니다. 하나라도 다른 값이 있으면 수학적인 표준편차는 양수입니다.

음수도 입력할 수 있나요?

네. 유한한 음수, 0, 양수를 함께 입력할 수 있으며 각 값을 목록의 평균과 비교해 계산합니다.

입력 순서를 바꾸면 결과가 달라지나요?

아니요. 값의 집합이 같다면 순서는 평균, 분산, 표준편차에 영향을 주지 않습니다.

소수 자릿수를 줄이면 정확도가 낮아지나요?

표시되는 숫자만 짧아집니다. 내부 계산과 복사되는 값은 사용 가능한 전체 수치 정밀도를 유지합니다.

표준편차가 크면 데이터가 잘못된 것인가요?

그렇다고 단정할 수 없습니다. 자연스러운 변동일 수도 있으므로 분야의 기준과 측정 과정, 이상치를 함께 확인해야 합니다.

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Calcopedia (ko) → 표준편차

산술평균 μ	5
모집단 분모 N	8
모집단 분산 σ²	4
데이터 개수	8
최솟값	2
최댓값	9