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So prüft der Rechner eine Primzahl
Der Rechner untersucht eine nichtnegative ganze Zahl und ordnet sie als Primzahl, zusammengesetzte Zahl oder Sonderfall ein. Bei einer zusammengesetzten Zahl nennt er die ersten gefundenen nichttrivialen Teiler.
Vier Zahlen, vier typische Fälle
2 ist eine Primzahl. Sie besitzt genau die positiven Teiler 1 und 2.
1 ist ein Sonderfall. Ein einziger positiver Teiler reicht für die Definition einer Primzahl nicht aus.
49 ist zusammengesetzt. Die Prüfung schließt 7 ein, denn 49 = 7 × 7.
97 ist prim. Kein Kandidat bis zur Quadratwurzel teilt die Zahl ohne Rest.
Der kurze vollständige Prüfbereich
Zu jedem großen Faktor einer zusammengesetzten Zahl gehört ein kleinerer Faktor. Deshalb genügt es, die ganzen Zahlen von 2 bis einschließlich √n als mögliche Teiler zu prüfen.
Das Ergebnis nennt bis zu drei nichttriviale Teiler. Wird keiner gefunden, ist die Prüfung im zulässigen Zahlenbereich vollständig und das Ergebnis „Primzahl“ exakt.
Was das Ergebnis nicht verspricht
Die genannten Teiler belegen die Zusammengesetztheit, bilden aber nicht zwingend die vollständige Primfaktorzerlegung. Bei 84 erscheinen etwa 2, 3 und 4; die 4 ist selbst keine Primzahl.
Grenze. Zulässig sind ganze Zahlen von 0 bis 1.000.000.000.000. Dezimalzahlen und negative Werte gehören nicht zum Definitionsbereich dieses Rechners.
Häufige Fragen zur Primzahlprüfung
Vor allem 0, 1, 2 und Quadratzahlen zeigen, ob eine Prüfung sauber programmiert wurde.
Warum ist 1 keine Primzahl?
Eine Primzahl braucht genau zwei positive Teiler. Die Zahl 1 besitzt nur den Teiler 1.
Gilt 0 als zusammengesetzt?
Nein. Null fällt ebenso wie eins aus der Einteilung in Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen heraus.
Warum wird nur bis zur Quadratwurzel geprüft?
Bei n = a × b kann nicht gleichzeitig a > √n und b > √n gelten. Mindestens ein Faktor liegt daher innerhalb des Prüfbereichs.
Wird der Randwert √n mitgeprüft?
Ja. Sonst würden Quadratzahlen wie 49 oder 121 fälschlich als prim gelten.
Kann eine negative Zahl prim sein?
In der hier verwendeten elementaren Definition werden Primzahlen unter den natürlichen Zahlen größer als 1 betrachtet.
Ist die Berechnung probabilistisch?
Nein. Im angegebenen Bereich werden die nötigen Teiler exakt geprüft.
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