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Drei Antworten auf die Frage nach der Mitte
Mittelwert, Median und Modus beschreiben dieselbe Zahlenreihe aus verschiedenen Blickwinkeln. Der Rechner stellt sie deshalb nebeneinander. Als Hauptergebnis erscheint das arithmetische Mittel; darunter stehen Median, alle vorhandenen Modi samt Häufigkeit, Spannweite, Minimum, Maximum, Summe und Anzahl.
Welche Kennzahl was misst
Das arithmetische Mittel verteilt die Summe aller Werte gleichmäßig auf Beobachtungen:
Es berücksichtigt jeden Wert und reagiert daher deutlich auf Ausreißer. Der Median teilt dagegen die sortierte Reihe in zwei gleich große Hälften. Bei ungerader Anzahl ist er der mittlere Wert, bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte:
Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert. Teilen sich mehrere Werte die höchste Häufigkeit, zeigt der Rechner alle. Kommt jeder Wert nur einmal vor, gibt es keinen Modus. Die Spannweite misst nur den Abstand zwischen den Randwerten:
Vier Reihen, vier unterschiedliche Aussagen
Eine Reihe mit einem klaren Modus. Für 9, 10, 12, 13, 13, 13, 15, 15, 16, 16, 18, 22, 23, 24, 24 und 25 beträgt die Summe 268 bei 16 Werten.
Die mittleren Werte sind 15 und 16, daher ist der Median 15,5. Die 13 tritt dreimal auf und ist der einzige Modus. Aus 25 minus 9 folgt die Spannweite 16.
Zwei gleich häufige Modi. In 1, 1, 2, 2 kommen beide Werte zweimal vor. Die Reihe ist bimodal:
Die Modi sind 1 und 2, jeweils mit Häufigkeit 2. Die Spannweite beträgt 1.
Keine Wiederholung. Die Werte 1, 2 und 3 haben Mittelwert und Median 2. Weil jede Zahl genau einmal vorkommt, meldet der Rechner keinen Modus. Die Spannweite ist 3 minus 1, also 2.
Ein Ausreißer verändert die Lage. Für 40, 42, 45, 48 und 500 ergibt sich die Summe 675.
Der einzelne Wert 500 zieht das Mittel auf 135, während der Median bei 45 bleibt. Die Spannweite von 460 macht den großen Abstand sichtbar. Einen Modus gibt es nicht.
Eingabe, Rundung und sinnvolle Interpretation
Trennen Sie Zahlen durch Leerzeichen, Zeilenumbrüche, Semikolons oder senkrechte Striche. Auch ein Komma mit folgendem Leerzeichen trennt zwei Werte. Dezimalzahlen dürfen einen Punkt oder ein Komma verwenden; schreiben Sie Tausender ohne Gruppierungszeichen, damit etwa 1.000 nicht als Dezimalzahl missverstanden wird.
Pro Berechnung verarbeitet der Rechner höchstens 10.000 Werte und 200.000 Zeichen. Es müssen endliche Zahlen sein. Die Einstellung von 0 bis 10 Nachkommastellen verändert nur die Darstellung und nicht die intern berechneten Werte.
Keine der Kennzahlen ist allein immer die richtige. Das Mittel eignet sich, wenn jeder Betrag in die Bilanz eingehen soll. Der Median ist oft aussagekräftiger bei schiefen Verteilungen oder einzelnen Extremwerten. Der Modus beantwortet, was am häufigsten vorkommt, und kann auch bei Kategorien sinnvoll sein. Die Spannweite zeigt die gesamte Breite, ignoriert aber alles zwischen Minimum und Maximum.
Wenn nicht nur die Mitte, sondern auch die Streuung um sie wichtig ist, ergänzt der Standardabweichungsrechner die Auswertung.
Häufige Fragen zur Lage einer Zahlenreihe
Muss ich die Zahlen vor der Eingabe sortieren?
Nein. Der Rechner sortiert eine Kopie für Median und Spannweite. Die Reihenfolge der Eingabe verändert kein Ergebnis.
Kann eine Reihe mehr als einen Modus haben?
Ja. Wenn mehrere Werte dieselbe höchste Häufigkeit besitzen, werden sie alle als Modi angezeigt. Ihre gemeinsame Häufigkeit steht daneben.
Warum gibt es bei lauter verschiedenen Werten keinen Modus?
Eine einmalige Häufigkeit kennzeichnet keinen Wert als besonders häufig. Deshalb wird in diesem Fall kein Modus ausgegeben, statt sämtliche Zahlen als Modi zu bezeichnen.
Wann sollte ich Median statt Mittelwert nennen?
Der Median ist besonders hilfreich, wenn einzelne sehr große oder kleine Werte das Mittel stark verschieben. Für Summen, Budgets oder Bilanzen bleibt das Mittel oft die passendere Größe.
Kann der Median eine Zahl sein, die nicht in der Liste steht?
Ja. Bei einer geraden Anzahl ist er der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen. In 1, 1, 2, 2 ist der Median deshalb 1,5.
Was verrät eine große Spannweite?
Sie zeigt einen großen Abstand zwischen Minimum und Maximum. Ob die übrigen Werte eng beieinanderliegen oder gleichmäßig verteilt sind, lässt sich daraus nicht ablesen.
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