Standardabweichung berechnen

Was der Rechner über eine Zahlenreihe zeigt

Fügen Sie mindestens zwei Zahlen ein und wählen Sie Grundgesamtheit oder Stichprobe. Als Hauptergebnis erscheint die Standardabweichung, ergänzt um Mittelwert, Divisor, Varianz, Anzahl sowie kleinsten und größten Wert.

Grundgesamtheit und Stichprobe trennen

Eine Grundgesamtheit enthält alle Werte, über die eine Aussage getroffen werden soll. Ihre quadrierten Abweichungen vom Mittelwert $\mu$ werden durch die Anzahl $N$ geteilt.

Eine Stichprobe bildet dagegen nur einen Teil einer größeren Gruppe ab. Hier arbeitet der Rechner mit dem Stichprobenmittel $\bar{x}$ und dem Divisor $n-1$.

Der Divisor $n-1$ macht die Stichprobenvarianz zu einem erwartungstreuen Schätzer der Populationsvarianz. Für die daraus gezogene Wurzel $s$ gilt diese strenge Erwartungstreue nicht. Darum sollte die Wahl des Modus zur Herkunft der Daten passen und nicht zum gewünschten Ergebnis.

Drei unterschiedliche Rechenwege

Stichprobe mit -2, 0 und 2. Das Mittel ist 0. Die quadrierten Abweichungen ergeben zusammen 8; bei drei Beobachtungen lautet der Divisor 2.

Die Stichproben-Standardabweichung beträgt 2. Negative Ausgangswerte sind dabei kein Sonderfall, denn erst ihre Abstände vom Mittelwert gehen in die Summe ein.

Grundgesamtheit 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Acht Werte ergeben den Mittelwert 5 und eine Abweichungsquadratsumme von 32.

Für diese vollständige Gruppe ist die Standardabweichung 2. Wird dieselbe Reihe als Stichprobe ausgewertet, steigt der Wert wegen des kleineren Divisors auf ungefähr 2,138.

Drei gleiche Messwerte 7, 7 und 7. Mittelwert und jeder Einzelwert sind 7, daher verschwindet jede Abweichung.

Das Ergebnis 0 bedeutet vollständige Gleichheit innerhalb der eingegebenen Reihe. Es sagt nicht, dass der gemeinsame Messwert selbst null ist.

Weit auseinanderliegende Werte 0, 100 und 200. In der Grundgesamtheit ist der Mittelwert 100.

Obwohl das Mittel ebenfalls 100 beträgt wie bei 99, 100 und 101, ist die Streuung deutlich größer. Der Mittelwert allein beschreibt die Verteilung der Werte also nicht.

Einheiten, Eingabe und Grenzen

Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Ausgangswerte, die Varianz deren Quadrat. Sie ist nicht negativ und wird genau dann 0, wenn alle Werte gleich sind. Bei Zeiten in Sekunden wird $s$ in Sekunden und $s^2$ in Quadratsekunden angegeben. Eine feste Grenze für eine kleine oder große Streuung gibt es nicht; entscheidend sind Größenordnung, Messzweck und fachlicher Kontext.

Für die Eingabe gelten drei praktische Regeln:

• Leerzeichen, Zeilenumbrüche, Semikolons und senkrechte Striche trennen Werte; auch ein Komma mit folgendem Leerzeichen ist ein Trenner.
• Punkt und Komma sind als Dezimalzeichen zulässig. Wissenschaftliche Schreibweise und das Unicode-Minuszeichen werden erkannt.
• Tausendertrennzeichen sind nicht vorgesehen. Schreiben Sie 1000 statt 1.000, 1,000 oder 1 000.

Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Das Addieren derselben Konstante zu allen Zahlen lässt die Standardabweichung unverändert; eine Multiplikation mit $c$ multipliziert sie mit $\lvert c\rvert$. Ausreißer wirken wegen der quadrierten Abstände stark. Eine Normalverteilung wird für die Berechnung nicht vorausgesetzt.

Pro Berechnung sind höchstens 10.000 endliche Werte und 200.000 Zeichen erlaubt. Der Algorithmus zentriert und skaliert die Daten, um große Zwischenwerte und Auslöschung zu begrenzen. Nicht zuverlässig darstellbare Extremwerte und numerischen Unterlauf weist er trotzdem zurück.

Zwischen 0 und 10 Nachkommastellen verändern nur die Anzeige. Intern und beim Kopieren bleibt die verfügbare Maschinengenauigkeit erhalten. Für die Lage eines Einzelwerts innerhalb der Reihe kann anschließend der Z-Wert-Rechner verwendet werden.

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