sports_basketballСпорт12Калькулятор ИМТTDEE КалькуляторКалории на велопипедеКалькулятор ходьбыКалькулятор пульсавсе - 12
handymanСтройка и ремонт29Калькулятор штакетникаКалькулятор щебняКалькулятор пескаПеревод в тонныОбъем коробоквсе - 29
cardiologyЗдоровье15Калькулятор ИМТКалькулятор ПДРTDEE КалькуляторАлкокалькуляторКалькулятор BMRвсе - 15
femaleЖенские6Калькулятор ПДРКалькулятор овуляцииПол ребёнкаРазмер обувиРазмер одеждывсе - 6
account_balanceФинансы14Калькулятор НДСДни между датамиКалькулятор НДФЛСложный процентНа сколько % меньшевсе - 14
calculateМатематика66Простой калькуляторЧисло ПиЧисла ЭйлераРандомайзерКвадратные уравнениявсе - 66
design_servicesГеометрия48Площадь кругаДиаметр кругаДлина окружностиОбъем параллелепипедаЧисло Пивсе - 48
schoolУчеба135Простой калькуляторПлощадь кругаЧисло ПиКоличество символовХрономервсе - 135
sailingРазвлечения42Калькулятор шашлыкаДни между датамиКалькулятор ходьбыКалькулятор режима снаВозраст человекавсе - 42
biotechФизика54Перевод в тонныОбъем трубыМощность токаСредняя скоростьКоэффициент трениявсе - 54
restaurant_menuЕда и кулинария9АлкокалькуляторКалькулятор BMRКалькулятор шашлыкаКалькулятор белкаКалькулятор КБЖУвсе - 9
directions_carАвтомобили11АлкокалькуляторРасход топливаОбъем коробокСредняя скоростьОбъем бакавсе - 11
codeIT26HTML-редакторГенератор паролейКоличество символовХрономерРандомайзервсе - 26

Калькулятор стандартного отклонения

Введите числа, выберите тип данных и получите стандартное отклонение с промежуточными результатами.

Знаков после запятой

Стандартное отклонение σ

2

Среднее μ5
Делитель N8
Дисперсия σ²4
Количество чисел8
Минимум2
Максимум9

Читайте объяснение ниже

Как калькулятор находит стандартное отклонение

Два набора точек с разным разбросом вокруг общего среднего

Введите не меньше двух чисел и выберите, описывают ли они всю совокупность или выборку. Калькулятор найдёт среднее, дисперсию и стандартное отклонение, то есть масштаб разброса значений вокруг среднего.

Два режима отличаются делителем

Сначала для каждого числа вычисляется отклонение от среднего. Эти разности возводятся в квадрат и складываются, поэтому значения ниже и выше среднего не сокращают друг друга. Для всей генеральной совокупности сумма делится на число значений NN.

σ=∑i=1N(xi−μ)2N\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}}

Здесь μ\mu обозначает среднее совокупности, а σ\sigma её стандартное отклонение. Если введённые наблюдения представляют только часть более широкой группы, выбирают режим выборки и делят на n−1n-1.

s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

Делитель n−1n-1 делает выборочную дисперсию несмещённой оценкой дисперсии совокупности. Само выборочное стандартное отклонение ss при этом не становится строго несмещённой оценкой. Отклонение всегда неотрицательно и сохраняет единицу исходных данных, а дисперсия измеряется в квадрате этой единицы.

Проверка на наборах с разным разбросом

Вся совокупность: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Подставим среднее и сумму квадратов отклонений:

μ=5,∑i=18(xi−μ)2=32,σ2=328=4,σ=4=2\mu=5,\qquad \sum_{i=1}^{8}(x_i-\mu)^2=32,\qquad \sigma^2=\frac{32}{8}=4,\qquad \sigma=\sqrt{4}=2

Стандартное отклонение равно 2 исходным единицам: это характерный масштаб разброса всего набора.

Те же числа как выборка. Среднее и сумма квадратов остаются прежними, но меняется делитель:

s2=328−1=327≈4,571428571,s≈2,138089935s^2=\frac{32}{8-1}=\frac{32}{7}\approx4{,}571428571,\qquad s\approx2{,}138089935

На коротком списке поправка делает выборочное стандартное отклонение заметно больше результата для совокупности.

Близкие измерения: 99, 100, 101. В режиме совокупности получаем:

μ=100,∑(xi−μ)2=2,σ2=23,σ≈0,816496581\mu=100,\qquad \sum(x_i-\mu)^2=2,\qquad \sigma^2=\frac{2}{3},\qquad \sigma\approx0{,}816496581

Малое отклонение согласуется с тем, что все три значения лежат рядом с центром.

Широкий диапазон: 0, 100, 200. Среднее то же, но сумма квадратов намного больше:

μ=100,∑(xi−μ)2=20000,σ2=200003,σ≈81,64965809\mu=100,\qquad \sum(x_i-\mu)^2=20000,\qquad \sigma^2=\frac{20000}{3},\qquad \sigma\approx81{,}64965809

Одинаковое среднее не означает одинаковый разброс.

Одинаковые числа: 7, 7, 7. Все отклонения от среднего равны нулю:

∑(xi−μ)2=0,σ2=0,σ=0\sum(x_i-\mu)^2=0,\qquad \sigma^2=0,\qquad \sigma=0

Нулевой результат возможен только тогда, когда все введённые значения одинаковы.

Как ввод, округление и выбросы меняют чтение результата

Числа можно разделять пробелом, новой строкой, точкой с запятой или вертикальной чертой. Запятая, за которой следует пробельный символ, тоже работает как разделитель, а внутри числа может обозначать десятичную часть. Поддерживаются десятичная точка, научная запись и знак минуса Unicode. Разделители тысяч не поддерживаются: запись 1 000 будет прочитана как два числа. Порядок значений на ответ не влияет.

Калькулятор принимает от 2 до 10 000 конечных чисел и не больше 200 000 знаков за один расчёт. Незавершённый элемент оставляет форму без результата; неизвестный символ, бесконечное число или значение, которое нельзя надёжно представить, вызывают ошибку.

Настройка от 0 до 10 знаков меняет только отображение. Внутренний расчёт и копируемое значение сохраняют полную доступную точность. Алгоритм центрирует и масштабирует данные, чтобы устойчивее работать с близкими большими числами. Промежуточная немасштабированная сумма квадратов может переполниться, если итоговые дисперсия и отклонение остаются конечными. Результат не выводится, когда дисперсию или стандартное отклонение нельзя представить конечным числом либо ненулевая дисперсия из-за слишком малого масштаба округляется до нуля.

У стандартного отклонения нет общей границы «малого» или «большого». Сравнивайте его с единицами, характерным масштабом данных и задачей. При добавлении одной константы ко всем значениям результат не меняется; при умножении на cc он умножается на ∣c∣\lvert c\rvert. Один выброс может резко увеличить ответ. Нормальное распределение для расчёта не требуется.

Если нужно определить положение отдельного наблюдения относительно уже найденных среднего и отклонения, используйте калькулятор Z-оценки.

Вопросы о стандартном отклонении

Выбор режима и единиц определяет смысл числа: один и тот же список можно честно посчитать двумя способами, но выводы будут относиться к разным задачам.

Когда выбирать генеральную совокупность?

Выбирайте этот режим, если в списке есть все объекты, о которых нужен вывод. Тогда сумма квадратов отклонений делится на N.

Когда нужен режим выборки?

Он подходит, когда наблюдения представляют часть более широкой группы. Калькулятор использует делитель n - 1 и требует не меньше двух значений.

Может ли стандартное отклонение быть больше среднего?

Да. Среднее не задаёт верхнюю границу разброса, особенно если оно близко к нулю или в данных есть далёкие значения.

Нужно ли сортировать числа?

Нет. Перестановка наблюдений не меняет среднее, сумму квадратов, дисперсию или стандартное отклонение.

Почему дисперсия и отклонение имеют разные единицы?

При возведении разностей в квадрат единица тоже становится квадратной. Извлечение корня возвращает стандартному отклонению исходную единицу.

Стоит ли автоматически удалять выбросы?

Нет. Сначала проверьте, является ли далёкое значение ошибкой или настоящим наблюдением. Удаление корректного значения меняет набор и вопрос расчёта.

Похожие калькуляторы

Вам могут пригодиться следующие калькуляторы на эту же тему:

Поделиться в социальных сетях

Если вам понравилось, пожалуйста, поделитесь этим калькулятором в социальных сетях. Это просто для вас и полезно для продвижения проекта. Спасибо!

Calcopedia (ru) → Стандартное отклонение