So berechnet das Werkzeug Fₙ

Wachsende Kacheln nach der Fibonacci-Regel

Aus $F_0=0$ und $F_1=1$ entsteht jedes weitere Glied als Summe seiner beiden Vorgänger; eingegeben wird seine Position n.

Mit bekannten Werten gegenprüfen

Bei n = 10 erscheint 55. Die Nachbarn 34 und 89 liefern sofort die Probe: 34 + 55 = 89.

Für n = 20 lautet das Ergebnis 6.765. Dasselbe Muster zählt auch Wege über 19 Treppenstufen, wenn pro Zug genau eine oder zwei Stufen erlaubt sind.

Bei n = 100 erhalten Sie die 21-stellige Zahl 354.224.848.179.261.915.075. Hier würde eine gewöhnliche JavaScript-Zahl bereits Stellen verlieren.

Der Index beginnt bei null

Tragen Sie eine ganze Zahl zwischen 0 und 40.000 ein. Die Eingabe 0 ergibt 0, die Eingabe 1 ergibt 1. Mit den Plus- und Minustasten ändern Sie n jeweils um eins.

Der Rechner verwendet die schnelle Verdopplung. Statt alle Glieder bis n aufzubauen, wird der Index wiederholt halbiert.

F_{2k}=F_kleft(2F_{k+1}-F_k ight),qquad F_{2k+1}=F_k^2+F_{k+1}^2

Das Ergebnis bleibt dabei eine exakte Ganzzahl. Zur besseren Lesbarkeit stehen Leerzeichen zwischen Zehnergruppen; kopiert wird die ungruppierte Ziffernfolge.

Warum Lehrbücher manchmal anders zählen

Eine Darstellung beginnt mit 0, 1, 1, 2, 3, eine andere lässt die Null weg und beginnt mit 1, 1. Ohne sichtbaren Index kann deshalb „die zehnte Fibonacci-Zahl“ zwei Antworten meinen. Hier gilt stets F₀ = 0.

Nur nichtnegative ganze Indizes sind zulässig.
Die Obergrenze betrifft die Länge der Ausgabe.
Das Verhältnis zweier Nachbarn nähert sich dem Goldenen Schnitt nur an.

F₄₀₀₀₀ besitzt 8.360 Stellen. Eine Näherungsformel ist für die Größenordnung nützlich, aber nicht für eine garantiert richtige letzte Ziffer.

Häufige Fragen zur Fibonacci-Folge

Vor allem die Zählweise und sehr große Ergebnisse führen zu Rückfragen.

Wie lautet der Anfang der Folge?

Mit der hier verwendeten Zählweise lautet er 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 und 13.

Wozu dienen die Nachbarwerte?

An ihnen lässt sich die Rekursion prüfen: Vorgänger plus aktuelles Glied muss den Nachfolger ergeben.

Kann der Rechner Dezimalzahlen verarbeiten?

Nein. Ein Folgenindex ist hier eine ganze Zahl ohne Nachkommastellen.

Ist F₁₀₀ vollständig angegeben?

Ja. BigInt speichert alle 21 Stellen ohne Exponentialschreibweise.

Kann ich F mit negativem Index berechnen?

Diese Version ist auf die nichtnegative Standardfolge beschränkt.

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Calcopedia (de) → Fibonacci-Zahl

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