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Calculateur d’écart-type

Collez la série, choisissez population ou échantillon et réglez l’affichage décimal sans réduire la précision interne.

Décimales affichées

Écart-type de la population σ

2

Moyenne μ5
Diviseur N8
Variance de la population σ²4
Nombre de valeurs8
Minimum2
Maximum9

Lisez l'explication ci-dessous

Ce que résume l’écart-type

Deux séries de points, l’une resserrée et l’autre étalée autour de leur moyenne

Saisissez au moins deux nombres, puis précisez s’ils forment une population complète ou un échantillon. Le calculateur affiche l’écart-type en priorité et fournit la moyenne, le diviseur, la variance, l’effectif et les valeurs extrêmes pour le contrôler.

Le diviseur dépend de la question posée

Pour décrire tous les éléments d’une population, on mesure l’écart de chaque valeur xix_i à la moyenne μ\mu, on élève ces écarts au carré, puis on divise leur somme par l’effectif NN.

σ=∑i=1N(xi−μ)2N\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}}

Si la série observée n’est qu’un échantillon d’un ensemble plus vaste, le calcul repose sur sa moyenne xˉ\bar{x} et sur le diviseur n−1n-1.

s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

Avec n−1n-1, la variance de l’échantillon est un estimateur sans biais de la variance de la population. Sa racine carrée ss n’est toutefois pas strictement sans biais. Les deux modes demandent au moins deux observations.

Le résultat est toujours positif ou nul. Il reprend l’unité des données, tandis que la variance utilise cette unité au carré.

Comparer les calculs plutôt que les seules moyennes

Population 99, 100, 101. La moyenne vaut 100 et les écarts valent -1, 0 et 1.

σ2=(−1)2+02+123=23,σ≈0.816496581\sigma^2=\frac{(-1)^2+0^2+1^2}{3}=\frac{2}{3},\qquad \sigma\approx0.816496581

L’écart-type est proche de 0,816 dans l’unité de mesure. Les trois observations restent donc resserrées autour de 100.

Population 0, 100, 200. La moyenne vaut encore 100, mais deux valeurs s’en éloignent de 100 unités.

σ2=(−100)2+02+10023=200003,σ≈81.64965809\sigma^2=\frac{(-100)^2+0^2+100^2}{3}=\frac{20000}{3},\qquad \sigma\approx81.64965809

L’écart-type atteint environ 81,650. Deux séries peuvent ainsi partager la même moyenne tout en présentant des dispersions sans commune mesure.

Population 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Les huit nombres ont pour moyenne 5 et la somme de leurs écarts au carré vaut 32.

μ=408=5,σ2=328=4,σ=2\mu=\frac{40}{8}=5,\qquad \sigma^2=\frac{32}{8}=4,\qquad \sigma=2

Le résultat est 2. Pour des durées exprimées en minutes, cela correspondrait à un écart-type de 2 minutes et à une variance de 4 minutes carrées.

La même série considérée comme un échantillon. Le numérateur reste 32, mais le diviseur devient 8 - 1.

s2=327≈4.571428571,s≈2.138089935s^2=\frac{32}{7}\approx4.571428571,\qquad s\approx2.138089935

L’écart-type de l’échantillon est donc proche de 2,138. Il dépasse le résultat de population parce que le diviseur est plus petit.

Saisir la série sans créer de faux écarts

Choisissez des séparateurs non ambigus. Les espaces, retours à la ligne, points-virgules et barres verticales séparent les valeurs. Une virgule suivie d’une espace les sépare aussi. Le point et la virgule sont acceptés comme signes décimaux, avec la notation scientifique et le signe moins Unicode. Ainsi, 1,5 désigne un décimal, mais 1, 5 deux nombres.

Retirez les séparateurs de milliers. Écrivez 1000. La forme française 1 000 serait lue comme deux observations et 1,000 comme le nombre 1. L’ordre des observations, en revanche, n’a aucune influence sur le résultat mathématique.

Respectez les limites numériques. Une série peut comporter jusqu’à 10 000 valeurs et 200 000 caractères; chaque valeur doit être finie. Le calcul recentre et redimensionne la série pour réduire les pertes de précision, puis refuse les nombres trop petits ou trop grands pour un résultat fiable en JavaScript.

Arrondissez seulement l’affichage. Le réglage accepte de 0 à 10 décimales. La valeur interne et la copie conservent la précision machine, ce qui évite de propager un arrondi prématuré dans un calcul suivant.

L’écart-type n’a pas de seuil universel de gravité. Il faut le comparer à l’échelle, à l’unité et à l’usage de la série. Une valeur aberrante peut le faire monter fortement. Ajouter une constante à toutes les observations ne le change pas; les multiplier par cc le multiplie par ∣c∣\lvert c\rvert. Aucune hypothèse de normalité n’est nécessaire pour le calcul lui-même.

Pour situer ensuite une observation particulière par rapport à cette moyenne, le calculateur de score Z transforme cet éloignement en nombre d’écarts-types.

Questions à régler avant de conclure

La formule décrit exactement la série fournie. La pertinence du résultat dépend encore du choix population ou échantillon, de l’unité commune et de la présence éventuelle d’une erreur de mesure.

Quand faut-il choisir le mode échantillon ?

Quand les observations ne représentent qu’une partie d’une population plus vaste. Le calcul emploie alors n moins 1 pour estimer la variance de cette population.

Un écart-type peut-il être supérieur à la moyenne ?

Oui. La moyenne n’est pas une limite. Cela peut se produire avec une série très dispersée ou dont la moyenne est proche de zéro.

Que signifie un écart-type nul ?

Toutes les valeurs saisies sont identiques. Chacune coïncide avec la moyenne, donc tous les écarts et leurs carrés valent zéro.

Faut-il trier les nombres ?

Non. Le changement d’ordre ne modifie ni la moyenne ni la variance. Un tri peut seulement faciliter la recherche visuelle d’une faute de saisie.

Peut-on comparer directement deux écarts-types ?

Oui si les séries utilisent la même unité et des échelles comparables. Avec des unités ou des niveaux très différents, la valeur brute seule peut induire en erreur.

Doit-on supprimer une valeur aberrante ?

Pas sans vérifier sa nature. Corrigez une erreur de saisie avérée, mais conservez une observation extrême valide ou expliquez clairement pourquoi l’analyse l’exclut.

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