標準偏差計算機

標準偏差計算機の使い方

2個以上の数値を入力し、母集団か標本かを選びます。平均からの散らばりを元のデータと同じ単位で表す標準偏差と、その計算に使う分散を確認できます。

母集団と標本を先に選ぶ

調べたい対象をすべて入力した場合は母集団です。各値から母平均$\mu$を引き、差を二乗して合計し、値の個数$N$で割ります。最後に平方根を取った値が母標準偏差$\sigma$です。

より大きな集団から一部だけを取り出したデータなら標本を選びます。標本平均を$\bar{x}$、個数を$n$とすると、分母は$n-1$です。

$n-1$で割ると標本分散は母分散の不偏推定量になります。ただし、その平方根である$s$自体が厳密に不偏になるわけではありません。どちらの標準偏差も0以上で、すべての値が等しいときだけ0です。

計算結果を途中の値から確かめる

1. $99, 100, 101$を母集団として計算します。 平均は100、偏差平方和は$1+0+1=2$です。分散は$\frac{2}{3}$、標準偏差は$\sigma=0.816496581$になります。3つの測定値が中心の近くに集まっていることが数値にも表れます。
2. $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$を母集団として扱います。 平均は5、偏差平方和は32です。$\frac{32}{8}=4$が分散で、平方根を取ると$\sigma=2$です。このデータでは散らばりの尺度が2になります。
3. 同じ8個を標本として扱います。 分母だけが$8-1=7$に変わります。標本分散は$\frac{32}{7}=4.571428571$、標本標準偏差は$s=2.138089935$です。データ数が少ない場合は、分母の選択が結果に目に見えて影響します。
4. $-2, 0, 2$を標本として計算します。 平均は0、偏差平方和は8、分母は2です。分散は4、$s=2$となります。負の入力があっても、平均との差を二乗するため標準偏差は負になりません。

単位、外れ値、入力形式を読み違えない

標準偏差の単位は入力と同じです。秒のデータなら秒、cmならcmで表示されます。分散は二乗した単位です。数値の大きさだけで「小さい」「大きい」と決める共通基準はないため、測定単位や許容範囲、比較対象と一緒に解釈します。

すべての値に同じ定数を足しても標準偏差は変わりません。各値を$c$倍すると結果は$\lvert c\rvert$倍になります。一方、遠く離れた値は二乗によって強く効くので、1個の外れ値でも結果が大きくなることがあります。計算そのものに正規分布の仮定は不要です。

区切りには空白、改行、セミコロン、縦線を使えます。カンマの直後に空白文字がある場合は、そのカンマも区切りとして扱われます。小数点にはピリオドまたはカンマを使用でき、指数表記とUnicodeのマイナス記号にも対応しています。桁区切りには対応していないため、1 000は1000ではなく、1と0の2つの数値として読み取られます。入力順を変えても結果は同じです。

入力できる有限の数値は2個以上10,000個までで、文字数の上限は200,000字です。表示する小数点以下の桁数は0から10まで選べますが、内部計算とコピーされる値には利用可能な精度が保たれます。大きくて互いに近い値も安定して計算できるよう、データの中心化とスケーリングを行います。分散や標準偏差を有限値で表せない場合や、小さすぎて非ゼロの分散がゼロに丸められる場合は、結果を表示しません。

個々の値が平均から標準偏差の何個分離れているかを調べる場合は、Zスコア計算機を使えます。

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