並べ方をどう数えるか

異なる色の三つの札を二通りの順序に並べた図

異なるものを何個か選び、順番に並べた場合の数を求めます。全体から一部だけを並べるなら部分順列、全員または全品を並べるなら順列を選びます。位置を入れ替えると別の並べ方です。

全部並べるか、一部を選ぶか

要素がn個あり、そのうちk個で位置を埋める場合、最初の位置にはn通り、次にはnより1少ない通りがあります。すべて使う場合はkがnと同じになるため、入力欄は一つで足ります。

A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},\qquad P(n)=n!

「!」は階乗で、1までの正の整数を順に掛けたものです。この計算では必要な因数だけを掛け、結果を整数のまま保持します。

kがnと同じならA(n, n)とP(n)は一致します。例えば5個すべてを並べる場合、どちらの式でも5! = 120通りです。

6人から4人を選んで異なる座席に座らせると、A(6, 4) = 6 × 5 × 4 × 3 = 360通りです。同じ4人でも席を交換すれば別の結果になります。

赤・青・緑の3枚の札をすべて横に並べると、P(3) = 6通りになります。どの札も一度ずつ使うので、全順列のモードが合います。

8つの作品から最初と最後に紹介する2作品を決めると、A(8, 2) = 56通りです。紹介する2作品を選ぶだけなら、組合せはC(8, 2) = 28通りです。

入力する要素は区別でき、同じものを二度選ばないことが前提です。同じ札が複数ある場合や、選んだ札を戻してよい場合は別の式になります。位置の数kは要素数nを超えられません。

0から3000までの整数を入力できます。何も置かない方法も一つなのでA(n, 0) = 1、P(0) = 1です。長い結果は見やすく区切って表示しますが、コピーした数値には区切りを入れません。

並べる位置に違いがあるか、同じ要素を再び使えるかを先に決めると、式を選びやすくなります。

組合せを使います。選ばれた要素が同じなら、列挙する順序を変えても新しい結果にはなりません。

kはnと同じです。全順列モードならkを別に入力する必要はありません。

この計算では使えません。重複を許すコードには別の数え方が必要です。

空の並び方が一つ存在するためです。空積の値も1と定められています。

丸めません。入力上限内では整数演算で全ての桁を保持します。

要素の再利用ができないため、異なるn個からn個より多くの位置は埋められません。

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